问题一：根据椭圆的焦距公式：|F1F2|=2c ,其中c^2 =a^2 - b^2
具体到本题：已知a^2=1 ,b^2 ( 0﹤b﹤1) ；则可得c^2=1 - b^2 ,即：c=√1 - b^2
问题二：设点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2)
则过点A,B的直线L的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)
∵本题已经给出“若直线 L的斜率为1“这个条件
∴(y2-y1)/(x2-x1) = 1 , 即：y2-y1 = x2-x1.①
根据两点间的距离公式,有：|AB|=√(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2
结合①式,即可得：|AB|=√[(x2-x1)^2 + (x2-x1)^2] = √[2(x2-x1)^2] = √2*|x2-x1|
由题意可知椭圆焦点F1的坐标是(c,0)
又∵直线L过椭圆的焦点F1,且直线L的斜率为1
∴设直线L的方程为：y=x+c
问题三：将直线L与椭圆方程联立,消去y后,得：(1+b^2)x^2 + 2cx + 1-2b^2 =0
再根据韦达定理：x1+x2=-2c/(1+b^2) , x1x2=(1-2b^2)/(1+b^2)
∵由椭圆的定义,可得：|AF1|+|AF2|=2a , |BF1|+|BF2|=2a
∴|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a = 4a =4*1 =4
∵点A,B在直线L上
∴|AB|+|AF2|+|BF2|=4.②
∵IAF2I, IABI,IBF2I 成等差数列
∴2|AB| = |AF2|+|BF2|.③
将③带入②,得：|AB|=4/3
∵|AB|=√[2(x2-x1)^2] （推导过程见问题二）
∴4/3 = √[2(x2-x1)^2]
两边平方：16/9 = 2*(x2-x1)^2
8/9 = x2^2 - 2x1x2 + x1^2
8/9 = (x1+x2)^2 - 4x1x2
8/9 = [-2c/(1+b^2)]^2 - 4*[(1-2b^2)/(1+b^2)]
8/9 = 4c^2/(1+b^2)^2 - (4-8b^2)/(1+b^2)
8/9 = 4(1-b^2)/(1+b^2)^2 - [(4-8b^2)(1+b^2)]/(1+b^2)^2 , （c^2=1-b^2,见问题一）
整理后,得： 8/9 = 8b^4/(1+b^2)^2
9b^4 = 1 + 2b^2 + b^4
(2b^2 - 1)(4b^2 + 1)=0
2b^2 - 1=0或4b^2 + 1=0（舍）
解得：b=√2/2