1.假定你说的是以x=0为中心展开的幂级数,即Maclaurin级数,那么x=0时当然收敛
2.如果s(x)=sum an x^n,在收敛域内这个是等式,当然可以做任何运算.
如果要进行逐项运算,那么这个就不是很平凡的了,所以才要研究逐项积分和求导.至于你说的逐项相加,或者逐项乘同一个量,那么这个是非常平凡的,用部分和的极限来看就行了.
3.看上面的2,s(x)=sum an x^n在收敛域内就是一回事,不用再区分幂级数和和函数,只不过是表达形式的区别.
4.级数A=sum an和级数B=sum bn的Cauchy乘积在其中之一绝对收敛的情况下可以保证(sum an)(sum bn)=AB,而对于幂级数而言在收敛圆的内部确实是绝对收敛的,所以结论成立.