Question

已知A（-2，0），B（2，0），动点P满足∠APB=θ，且|PA|•|PB|cos2θ2＝4．

Answer 1

解题思路：（1）先根据余弦定理求出|PA|+|PB|的值，验证轨迹C为椭圆方程，从而得到答案．

（2）先假设出直线l的方程，然后与（1）所求的椭圆方程联立消去y求出两根之和与两根之积，再表示出B₁P、B₂Q的关系式二者联立消去x得到y的关系式，最后将求出的两根之和与两根之积代入即可得到答案．

（1）由余弦定理得|AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA||PB|cosθ

即16＝|PA|2+|PB|2−2|PA||PB|(2cos2

θ

2−1)＝(|PA|+|PB|)2−16

∴|PA|+|PB|＝4

2＞|AB|

∴动点P的轨迹C是以A、B为焦点，长轴长为4

2的椭圆，方程为

x2

8+

y2

4＝1

（2）设l为y=kx+1，则与

x2

8+

y2

4＝1联立得（1+2k²）x²+4kx-6=0

记P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），

则x1+x2＝

−8k

1+2k2x1x2＝

−6

1+2k2B1P：y+2＝

y1+2

x1xB2Q：y−2＝

y2−2

x2x

联立得

x1

y1+2(y+2)＝

x2

y2−2(y−2)

即y＝2

x2(y1+2)+x1(y2−2)

x2(y1

点评：

本题考点： 余弦定理的应用；轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题主要考查椭圆方程的求法和直线与圆锥曲线的综合问题．一般是直线与圆锥曲线的方程联立消去y，得到两根之和与两根之积的关系式，再结合题中所给条件解题．