如图,在三角形ABC中,AG垂直BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB,AC为直角边,向三角形ABC外作等腰直角三角形A

1个回答

  • 题有问题,若是等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF,则结论可证

    1,EP=FQ

    证明:因为三角形ABE是等腰直角三角形

    所以AB=AE

    角BAE=90度

    因为AG垂直BC于G

    所以角AGB=角AGC=90度

    因为角BAG+角ABG+角AGB=180度

    所以角BAG+角ABG=90度

    因为角BAE+角BAG+角EAP=180度

    所以角EAP+角BAG=角BAG+角ABG=90度

    所以角ABG=角EAP

    因为EP垂直射线GA

    所以角APE=90度

    所以角AGB=角APE=90度

    所以三角形APE和三角形BGA全等(AAS)

    所以EP=AG

    AP=BG

    因为三角形ACF是等腰直角三角形

    所以角CAF=90度

    AC=AF

    因为角CAF+角FAQ+角CAG=180度

    所以角FAQ+角CAG=90度

    因为角AGC+角ACG+角CAG=180度

    所以角ACG+角CAG=角CAG+角FAQ=90度

    所以角ACG=角FAQ

    因为FQ垂直射线GA

    所以角AQF=90度

    所以角AQF=角AGC=90度

    所以三角形AQF和三角形CGA全等(AAS)

    所以FQ=AG

    AQ=CG

    所以EP=FQ

    (2)证明:延长AM,使MN=AM=1/2AN,连接FN

    因为角AQE=角AQF=90度

    角PME=角QMF(对顶角相等)

    EP=FQ(已证)

    所以三角形EPM和三角形FQM全(AAS)

    所以EM=MF

    因为角AME=角FMN

    所以三角形AME三角形NMF全等(SAS)

    所以AE=FN

    角AEM=角MFN

    所以AE平行FN

    所以角EAF+角AFN=180度

    因为角BAE+角BAC+角CAF+角EAF=360度

    角BAE=角CAF=90度(已证)

    所以角BAC+角EAF=角EAF+角AFN=180度

    所以角BAC=角AFN

    因为AC=AF(已证)

    AB=AE(已证)

    所以AB=FN

    所以三角形ABC和三角形FNA全等(SAS)

    所以AN=BC

    因为BC=BG+CG

    BG=AP(已证)

    CG=AQ(已证)

    所以AP+AQ=BC=AN

    所以AP+AQ=2AM