Question

对任意的非零x1,x2,有f（x1x2）=f(x1)+f(x2),且f'(1)=1,证明：当x不等于0时,f'(x)=1

Answer 1

取x2=1代入,得f(x1)=f(x1)+f(1)∴f(1)=0

取x1=x,x2=1/x,得f(1)=f(x)+f(1/x)=0

取x2=1/x2,得f(x1/x2)=f(x1)-f(x2)

取x1=x+△x,x2=x代入上式后等式两边同除△x,得f((x+△x)/x)/△x=(f(x+△x)-f(x))/△x

当△x->0时有limf(1+△x/x)/△x=f'(x)

又limf(1+△x/x)/△x,（为0比0型,上下对△x求导）=[f'(1)*(1/x)]/1=1/x

得f'(x)=1/x,x≠0