Question

设方程x+tanx=0的所有正根按从小到大的顺序排列分别为a1,a2,...,an,.,试证明；

Answer 1

已知函数y=tanx的图像是周期性地分布于区间（π/2+nπ,3π+nπ）里(n∈整数),且在点x=π/2+nπ,n∈整数,图像不连续 而方程x+tanx=0的根即为函数f(x)=-x与函数g(x)=tanx图像的交点的横坐标,由于本题只涉及正根,所以这里仅讨论横坐标大于零的交点 显然对于第n个和第n+1正根An,A(n+1),有 f(An)=g(An)=tan(An)=-An (π/2+nπ)-nπ=π/2 因为f(x)为减函数,故g(An)=f(An)>f(A(n+1))=g(A(n+1)) 又g(An)=g(An+π),An+π与A(n+1）在同一个连续区间里,且在该连续区间里 g(x)为增函数 所以An+π>A(n+1）,即A(n+1)-An