已知在三角形ABC中角B=60三角形ABC角平分线AD,CE相交于点O求OE=OD

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  • 证明:连接OB,过点O作OM⊥AB于M,ON⊥BC于N

    ∵∠ABC=60

    ∴∠BAC+∠ACB=180-∠ABC=120

    ∵AD平分∠BAC,CE平分∠ACB

    ∴∠OAC=∠BAC/2,∠OCA=∠ACB/2

    ∴∠AOC=180-(∠OAC+∠OCA)=180-(∠BAC+∠ACB)/2=120

    ∴∠DOE=∠AOC=120

    ∴∠ABC+∠DOE=180

    ∵∠ODB+∠OEB+∠ABC+∠DOE=180

    ∴∠ODB+∠OEB=180

    ∵∠OEB+∠OEA=180

    ∴∠OEA=∠ODB

    又∵AD平分∠BAC,CE平分∠ACB

    ∴O是△ABC角平分线交点

    ∴OB平分∠ABC

    ∵OM⊥AB,ON⊥BC

    ∴OM=ON,∠OME=∠OND=90

    ∴△OME≌△OND (AAS)

    ∴OE=OD

    证明:连接OB,过点O作OM⊥AB于M,ON⊥BC于N

    ∵∠ABC=60

    ∴∠BAC+∠ACB=180-∠ABC=120

    ∵AD平分∠BAC,CE平分∠ACB

    ∴∠OAC=∠BAC/2,∠OCA=∠ACB/2

    ∴∠AOC=180-(∠OAC+∠OCA)=180-(∠BAC+∠ACB)/2=120

    ∴∠DOE=∠AOC=120

    ∴∠ABC+∠DOE=180

    ∴O、D、B、E四点共圆

    ∴∠OEA=∠ODB

    又∵AD平分∠BAC,CE平分∠ACB

    ∴O是△ABC角平分线交点

    ∴OB平分∠ABC

    ∵OM⊥AB,ON⊥BC

    ∴OM=ON,∠OME=∠OND=90

    ∴△OME≌△OND (AAS)

    ∴OE=OD