Question

在△ABC中，∠B是直角，P是三角形内的一点，已知PA=10，PB=6，∠APB=∠BPC=∠CPA，则PC的长度是__

Answer 1

解题思路：根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即AB²+BC²=AC²，用PC表示BC，CA，根据勾股定理即可求得PC．

注意到已知条件，则∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，在△APB、△BPC、△CPA中，由余弦定理，得

AB²=PA²+PB²-2PA•PB•cos120°=10²+6²+60=196，

BC²=PB²+PC²-2PB•PCcos120°=PC²+6²+6PC，

CA²=PC²+PA²-2PC•PAcos120°=PC²+10²+10PC，

由勾股定理，AB²+BC²=CA²，得

196+（36+PC²+6PC）=PC²+100+10PC

∴4PC=132，PC=33，

故答案为 33．

点评：

本题考点： 勾股定理；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了勾股定理的正确运用，本题中用PC表示BC和CA，是解题的关键．