解题思路：（1）先由函数是奇函数，利用待定系数法求解．
（2）由（1）求得函数，再用单调性定义来判断其单调性，先任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号．
（1）∵f（x）是R上的奇函数．
∴f（-x）=-f（x）
1−a2x
1+2x＝
a2−x−1
1+2−x＝
a−2x
1+2x
∴1-a•2=a-2x
∴a=1
（2）设x1＜x2，则2x1＜2x2
f（x1）-f（x2）=
2(2x1−2x2)
(2x1+1)(2x2+1) ＜0
所以f（x）在R上是增函数．
点评：
本题考点： 奇偶性与单调性的综合．
考点点评： 本题主要考查函数奇偶性的应用，这类问题往往用到待定系数法求参数的值．还考查了函数单调性的判断与证明，一般用定义法或导数．