若一个正整数能表示为两个正整数的平方差,则称这个正整数为“智慧数”已知按从小到大顺序构成如下列:3

2个回答

  • 任何大于等于3的奇数都是智慧数:

    2k+1=(k+1)^2-k^2 其中k>=1,于是2k+1>=3

    任何大于等于8的能被4整除的数都是智慧数:

    4(k+1)=(k+2)^2-k^2 其中k>=1,于是4(k+1)>=8

    除此之外没有其他智慧数了

    因为除此外剩下的就是不能被4整除的偶数了,而

    (a+k)^2-a^2=2ak+k^2 其中a>=1,k>=1,则2ak+k^2为智慧数

    若k为奇数,由于2ak为偶数,k^2为奇数,则智慧数为奇数

    若k为偶数,于是2ak和k^2均能被4整除,则智慧数能被4整除

    所以智慧数列是由

    3,5,7,9,11,………… 和

    8,12,16,20,24,…………

    从小到大合并而成,即3,5,7,8,9,11,12,…………

    设第2003个智慧数是n,则

    [(n-3)/2+1]+[(n-8)/4+1]=2003

    其中[..]表示不超过..的最大正整数

    [(n-3)/2+1]表示3到n的正整数个数

    [(n-8)/4+1]表示8到n的能被4整除的正整数个数

    解方程得 n=2673