Question

求证：角平分线平分其对边的三角形必定是等腰三角形.要图

Answer 1

［证法一］

∵∠BAD＝∠CAD,∴由三角形内角平分线定理,有：AB/AC＝BD/CD,又BD＝CD,

∴AB＝AC.

［证法二］

∵∠BAD＝∠CAD、BD＝CD,∴△ABD的外接圆、△CAD的外接圆是等圆,

而∠ADB、∠ADC互补,∴AB＝AC.

［证法三］

∵BD＝CD,∴S(△ABD)＝S(△ACD),

又S(△ABD)＝（1/2）AB×AD∠BAD、S(△ACD)＝（1/2）AC×ADsin∠CAD,

∴ABsin∠BAD＝ACsin∠CAD,而∠BAD＝∠CAD,∴AB＝AC.

［证法四］

延长BA至E,使AB＝AE.

∵AB＝AE、BD＝CD,∴AD是△BCE的中位线,∴AD∥EC,

∴∠BAD＝∠AEC、∠CAD＝∠ACE,又∠BAD＝∠CAD,∴∠AEC＝∠ACE,∴AE＝AC,

而AB＝AE,∴AB＝AC.

注：图很简单,若需要,则请联系（hi或补充说明）,本人将补充作出.