Question

已知函数f(x)=(1+lnx)/x-1(x>1) （1）判断函数f（x）在（1,+无穷）上的单调性,并证明你的结论

Answer 1

（1）函数导数=((x-1)/x-(lnx+1))/(x-1)^2=-(1/x+lnx)/(x-1)^2

因为x>1,所以明显可得函数导数>0,函数是单调增加的.

（2）Y=xf(x)-k*(x-1)=xlnx+x-xk+k,

当x=1时,Y=1>0,对于x>1时,Y>=0恒成立,即Y的导数大于0即可,

所以Y导数=lnx+2-k>=0,当x=1时,k=2,为满足条件的最大值.