解题思路:(Ⅰ)设|an|的公比为q1,|bn|的公比为q2,根据
c
n
=
b
n
a
n
进而可得
c
n+1
c
n
化简得
q
2
q
1
进而可证明|cn|为等比数列.
(Ⅱ)根据数列{an},{bn}是各项均为正数的等比数列,可推断数列{lnan},{lnbn}为等差数列.进而可求得Sn和Tn代入
S
n
T
n
=
n
2n+1
,可求得q1,q2=16和b1=8.代入
c
n
=
b
n
a
n
即可得到数列{cn}的通项公式,结果发现数列{cn}是以4为首项,4为公比的等比数列,进而根据等比数列的求和公式可得到答案.
(Ⅰ){cn}是等比数列.
证明:设{an}的公比为q1(q1>0),{bn}的公比为q2(q2>0),
则
cn+1
cn=
bn+1
an+1•
an
bn=
bn+1
bn•
an
an+1=
q2
q1≠0,故{cn}为等比数列.
(Ⅱ)数列{lnan}和{lnbn}分别是公差为lnq1和lnq2的等差数列.
由条件得
nlna1+
n(n−1)
2lnq1
nlnb1+
n(n−1)
2lnq2=
n
2n+1,即
2lna1+(n−1)lnq1
2lnb1+(n−1)lnq2=
n
2n+1.
故对n=1,可得
lna1
lnb1=
1
3,又a1=2,可得b1=8,
于是
2lna1+(n−1)lnq1
2lnb1+(n−1)lnq2=
n
2n+1可变为
(2lnq1-lnq2)n2+(4lna1-lnq1-2lnb1+lnq2)n+(2lna1-lnq1)=0对任意的正整数n恒成立
于是
点评:
本题考点: 等比关系的确定;数列的求和.
考点点评: 本小题主要考查等差数列,等比数列,对数等基础知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力.