(2013•天河区二模)已知抛物线y=3ax2+2bx+c

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  • 解题思路:(1)将a、b、c的值代入,可得出抛物线解析式,从而可求解抛物线与x轴的交点坐标;

    (2)由y=1得3ax2+2bx+c=1,表示出方程的判别式的表达式,利用配方法及完全平方的非负性即可判断出结论;

    (3)a=[1/3],c-b=2,则抛物线可化为y=x2+2bx+b+2,其对称轴为x=-b,以-1≤x≤2为区间,讨论b的取值,根据最小值为-3,可得出方程,求出b的值即可.

    (1)当a=b=1,c=-1,时,抛物线为y=3x2+2x-1,

    ∵方程3x2+2x-1=0的两个根为x1=-1,x2=[1/3],

    ∴该抛物线与x轴交点的坐标是(-1,0)和([1/3],0);

    (2)由y=1得3ax2+2bx+c=1,

    △=4b2-12a(c-1)

    =4b2-12a(-a-b)

    =4b2+12ab+12a2

    =4(b2+3ab+3a2

    =4[(b+[3/2]a)2+[3/4]a2],

    ∵a≠0,

    ∴△>0,

    ∴方程3ax2+2bx+c=1有两个不相等实数根,

    即存在两个不同实数x0,使得相应y=1;

    (3)a=[1/3],c-b=2,则抛物线可化为y=x2+2bx+b+2,其对称轴为x=-b,

    当x=-b<-1时,即b>1,则有抛物线在x=-1时取最小值为-3,

    此时-3=(-1)2+2×(-1)b+b+2,

    解得:b=6,符合题意;

    当x=-b>2时,即b<-2,则有抛物线在x=2时取最小值为-3,

    此时-3=22+2×2b+b+2,

    解得:b=-[9/5],不合题意,舍去.

    当-1≤-b≤2时,即-2≤b≤1,则有抛物线在x=-b时取最小值为-3,

    此时-3=(-b)2+2×(-b)b+b+2,

    化简得:b2-b-5=0,

    解得:b=

    1+

    21

    2(不合题意,舍去),b=

    1−

    21

    2,

    综上可得:b=6或b=

    1−

    21

    2.

    点评:

    本题考点: 二次函数综合题.

    考点点评: 本题考查了二次函数的综合,涉及了一元二次方程的解,求根公式及根与系数的关系,解答本题的难点在第三问,关键是分类讨论,此题难度较大.