解题思路:应用分析法证明.将待证式中的:“1”用a+b+c代换,再结合基本不等式进行放缩,最后利用不等式的基本性质即可.
证明:∵a、b、c∈R+且a+b+c=1,
∴要证原不等式成立,
即证[(a+b+c)+a]•[(a+b+c)+b][(a+b+c)+c]≥8[(a+b+c)-a]•[(a+b+c)-b]•[(a+b+c)-c].
也就是证[(a+b)+(c+a)][(a+b)+(b+c)]•[(c+a)+(b+c)]≥8(b+c)(c+a)(a+b).①
∵(a+b)+(b+c)≥2
(a+b)(b+c)>0,
(b+c)+(c+a)≥2
(b+c)(c+a)>0,
(c+a)+(a+b)≥2
(c+a)(a+b)>0,
三式相乘得①式成立.
故原不等式得证.
点评:
本题考点: 不等式的证明.
考点点评: 从求证的不等式出发,逐步分析寻求使这个不等式成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实,从而得出要证的不等式成立,这种执果所因的思考和证明方法叫做分析法.