已知a、b、c∈R+,且a+b+c=1.求证:(1+a)(1+b)(1+c)≥8(1-a)(1-b)(1-c).

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  • 解题思路:应用分析法证明.将待证式中的:“1”用a+b+c代换,再结合基本不等式进行放缩,最后利用不等式的基本性质即可.

    证明:∵a、b、c∈R+且a+b+c=1,

    ∴要证原不等式成立,

    即证[(a+b+c)+a]•[(a+b+c)+b][(a+b+c)+c]≥8[(a+b+c)-a]•[(a+b+c)-b]•[(a+b+c)-c].

    也就是证[(a+b)+(c+a)][(a+b)+(b+c)]•[(c+a)+(b+c)]≥8(b+c)(c+a)(a+b).①

    ∵(a+b)+(b+c)≥2

    (a+b)(b+c)>0,

    (b+c)+(c+a)≥2

    (b+c)(c+a)>0,

    (c+a)+(a+b)≥2

    (c+a)(a+b)>0,

    三式相乘得①式成立.

    故原不等式得证.

    点评:

    本题考点: 不等式的证明.

    考点点评: 从求证的不等式出发,逐步分析寻求使这个不等式成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实,从而得出要证的不等式成立,这种执果所因的思考和证明方法叫做分析法.