Question

（2010•石景山区一模）数列an中，a1=-3，an=2an-1+2n+3（n≥2且n∈N*）．

Answer 1

解题思路：（1）由数列的递推公式求指定项，令n=2，3代入即可；

（2）由a_n=2a_n-1+2ⁿ+3及

b

n

＝

a

n

+3

2

n

，只要验证b_n-b_n-1是个常数即可；

（3）根据（2）证明可以求得b_n，进而求得a_n，从而求得s_n．

（1）a₂=2a₁+2+3=1，a₃=2a₂²+2³+3=13

（2）bn+1−bn＝

an+1+3

2n+1−

an+3

2n＝

1

2n+1(an+1−2an−3)＝

2n+1

2n+1＝1．

∴数列{b_{n ^}}是公差为1的等差数列．

（3）由（2）得bn＝

an+3

2n＝n−1，∴a_n=（n-1）•2ⁿ-3（n∈N^*）

∴s_n=0×2¹+1×2²+…+（n-1）2ⁿ-3n

令T_n=0×2¹+1×2²+…+（n-1）2ⁿ

则2T_n=0×2²+1×2³+…+（n-2）2ⁿ+（n-1）2ⁿ⁺¹

两式相减得：-T_n=2²+2³+…+2ⁿ-（n-1）•2ⁿ⁺¹

=

4(1−2n−1)

1−2−(n−1)2n+1=（2-n）•2ⁿ⁺¹-4

∴T_n=（n-2）•2ⁿ⁺¹+4

∴s_n=（n-2）2ⁿ⁺¹-3n+4．

点评：

本题考点： 数列的求和；等差关系的确定．

考点点评： 考查数列的基本运算，和等差数列的证明方法，错位相减法求和问题，很好，属中档题．