Question

已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F作互相垂直的两直线AB、CD与抛物线分别相交于A、B以及C、D，若[1

Answer 1

（1）设直线AB的斜率为k（k≠0），直线AB的方程为y＝k(x−

p

2)，

联立

y＝k(x−

p

2)

y2＝4x，消去y得k2x2−(k2p+2p)x+k2

p2

4＝0，

从而xA+xB＝p+

2p

k2，xA．xB＝

p2

4，

故[1

|AF|+

1

|BF|＝

1

xA+

P/2+

1

xB+

P

2]=1，

化简整理得(p2−2p)(1−

1

k2)＝0，

故（p²-2p）=0，因为p＞0，

所以p=2，即抛物线的方程为y²=4x．（5分）

（2）设直线AB的斜率为k（k≠0），则直线CD的斜率为−

1

k．

直线AB的方程为y=k（x-1），

联立