Question

设f（x）=x2-2ax+2，（a∈R）

Answer 1

解题思路：（1）由题意可得，x²-2ax+2-a≥0在x∈R时恒成立，根据二次函数的性质可知△=4a²-4（2-a）≤0，解不等式可求

（2）由x∈[-1，+∞）时，f（x）=x²-2ax+2≥a恒成立可知f（x）_min≤a，结合函数f（x）的单调性可求f（x）的最小值可求

（1）∵f（x）=x²-2ax+2≥a恒成立

∴x²-2ax+2-a≥0在x∈R时恒成立

∴△=4a²-4（2-a）≤0

解得-2≤a≤1

（2）∵x∈[-1，+∞）时，f（x）=x²-2ax+2≥a恒成立

∴x²-2ax+2≥a在x∈[-1，+∞）时恒成立

∴f（x）_min≤a

∵f，（x）=2x-2a

①a≤-1时，f，（x）=2x-2a≥0

∴f（x）在[-1，+∞）上单调递增，f（x）_min=f（-1）=2a+3≥a

∴-3≤a≤-1

②a＞-1时，f（x）在[-1，a）上单调递减，在[a，+∞）上单调递增，f（x）_min=f（a）=2-a²≥a

解可得，-2≤a≤1

∴-1＜a≤1

综上可得，-3≤a≤1

点评：

本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题主要考查了函数恒成立问题，此类问题常构造函数，转化为求解函数的最值问题：a＞f（x）（或a＜f（x））恒成立⇔a＞f（x）max（或a＜f（x）min），体现了转化思想在解题中的应用．