已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足： - 知识问答

已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：

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证明：（Ⅰ）设0≤x₁＜x₂≤1，则x₂-x₁∈（0，1）
∴f（x₂-x₁）＞0
∴f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0
即f（x₂）＞f（x₁）
故f（x）在[0，1]上是单调递增的
（Ⅱ）因f（x）在x∈[0，1]上是增函数，则f（x）≤f（1）=1⇒1-f（x）≥0，
当f（x）≤f（1）=1时，容易验证不等式成立；
当f（x）＜1时，则
4 f 2 (x)-4(2-a)f(x)+5-4a≥0⇒a≤
4 f 2 (x)-8f(x)+5
4-4f(x) 对x∈[0，1]恒成立，
设 y=
4 f 2 (x)-8f(x)+5
4-4f(x) =1-f(x)+
1
4[1-f(x)] ≥1 ，从而则a≤1
综上，所求为a∈（-∞，1]；
（Ⅲ）令S_n=
1
2 2 +
2
2 3 +
3
2 4 +…+
n
2 n+1 ----------①，
则
1
2 S n =
1
2 3 +
2
2 4 +
3
2 5 +…+
n
2 n+2 --------------②，
由①-②得，
1
2 S n =
1
2 2 +
1
2 3 +
1
2 4 +…+
1
2 n+1 -
n
2 n+2 ，即，S_n=
1
2 +
1
2 2 +
1
2 3 +…+
1
2 n -
n
2 n+1 = 1-
1
2 n -
n
2 n+1 ＜1
所以 f(
1
2 2 +
2
2 3 +…+
n
2 n+1 )＜f(1)=1 ．

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