已知直线y=-2x+b(b≠0)与x轴交于点A,与y轴交于点B;一抛物线的解析式为y=x2-(b+10)x+c.

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  • 解题思路:(1)先表示出B、P的坐标,然后将B代入抛物线的解析式中,将P代入直线的解析式中,联立两式可求出b、c的值,即可确定抛物线的解析式;

    (2)可根据直线AB的解析式表示出A、B的坐标,即可求出OA、OB的长,由于∠ABC=90°,在直角三角形ABC中,可用射影定理求出OC的长,然后联立抛物线的对称轴方程即可求出b的值.也就求出了直线AB的解析式.

    (1)直线y=-2x+b与x轴交于点A,与y轴交于点B,

    ∴点A坐标为([b/2],0),点B坐标(0,b),

    由题意知,抛物线顶点P坐标为(

    b+10

    2,

    4c−(b+10)2

    4),

    ∵抛物线顶点P在直线y=-2x+b上,且过点B,

    解得b1=-10,c1=-10,b2=-6,c2=-6,

    ∴抛物线解析式为y=x2-10或y=x2-4x-6;

    (2)∵点A坐标([b/2],0),点B坐标(0,b),

    ∴OA=|[b/2]|,OB=|b|,

    又∵OA⊥OB,AB⊥BC,

    ∴△OAB∽△OBC

    ∴[OB/OC]=[OA/OB]

    ∴OB2=OA•OC,

    即b2=OC•|[b/2]|,

    ∴OC=

    2b2

    |b|

    ∵抛物线y=x2-(b+10)x+c的对称轴为x=[b+10/2]且抛物线对称轴过点C,

    ∴|[b+10/2]|=

    2b2

    |b|.

    (i)当b≤-10时,-[b+10/2]=-2b,

    ∴b=[10/3](舍去)

    经检验,b=[10/3]不合题意,舍去.

    (ii)当-10≤b<0时,[b+10/2]=-2b,

    ∴b=-2,

    (iii)当b>0时,[b+10/2]=2b,

    ∴b=[10/3],

    此时抛物线对称轴直线为x=-

    −(

    10

    3+10)

    2×1=[20/3]>0,

    BC与x轴的交点在x轴负半轴,

    故不符合题意,舍去.

    ∴直线的解析式为y=-2x-2.

    点评:

    本题考点: 二次函数综合题.

    考点点评: 本题考查了一次函数、二次函数解析式的确定以及函数图象交点等知识,要注意(2)中,在b的取值范围不确定的情况下,要分类讨论,以免漏解.