Question

（概念基础题） 求证矩阵A可逆的充要条件为|A|≠0

Answer 1

以A*表示伴随矩阵,A'表示转置矩阵

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反证法.假设n阶矩阵A不是可逆的,则|A|＝0.

A*＝A',则AA'＝AA*＝|A|E,E是单位矩阵.所以AA'＝0.

设A的第i行j列元素是aij,则AA'的第k个主对角线元素是∑(akj)^2,j＝1,2,...,n（k＝1,2,...,n）.

所以akj＝0（j,k＝1,2,...,n）..

所以A＝0,与A≠0矛盾.

所以,A可逆.