Question

等腰Rt△ABC中,∠B=90°,P为△ABC内一点,且PA=PB,∠PBA=∠PAB=15°,求证:PC=BC

Answer 1

把等腰Rt△ABC,补成正方形ABCD.

证明：以CD为边在正方形内作正三角形MCD,连接MA,MB

则角MCD=角MDC=60度,角ADM=角BCM=30度.

又MC=MD=CD=AD=BC,三角形BCM与三角形ADM都是等腰三角形

所以角MAD=角MBC=（180度-30度）/2=75度,

那么角MAB=角MBA=15度,而角PAB=角PBA=15

于是BP、BM在同一直线上,AP、AM在同一直线上,

根据“两条直线相交,只有一个交点”,点P、M重合,

即三角形PCD为正三角形

即PC=CD=BC.