Question

根据下面一组等式：S1=1S2=2+3=5S3=4+5+6=15S4=7+8+9+10=34S5=11+12+13+14

Answer 1

解题思路：利用等差数列的通项公式与求和公式，可得S_n=（n³+n），再以2n-1代替n，得S_2n-1=4n³-6n²+4n-1，结合和的特点可以求解．

由题中数阵的排列特征，设第i行的第1个数记为a_i（i=1，2，3…n）

则a₂-a₁=1

a₃-a₂=2

a₄-a₃=3

…

a_n-a_n-1=n-1

以上n-1个式子相加可得，a_n-a₁=1+2+…+（n-1）=[1+n−1/2]×（n-1）=

n(n−1)

2

∴a_n=

n(n−1)

2+1

S_n共有n连续正整数相加，并且最小加数为

n(n−1)

2+1，最大加数

n(n−1)

2

∴S_n=n•×

n(n−1)

2+

n(n−1)

2×（-1）=[1/2]（n³+n）

∴S_2n-1=[1/2][（2n-1）³+（2n-1）]=4n³-6n²+4n-1

∴S₁=1

S1+S₃=16=2⁴

S₁+S₃+S₅=81=3⁴

∴S₁+S₃+…+S_2n-1=1+15+65+…+4n³-6n²+4n-1

=n⁴．

故答案：n⁴

点评：

本题考点： 归纳推理．

考点点评： 本题以一个三角形数阵为载体，考查了等差数列的通项与求和公式、简单的合情推理等知识，属于中档题．