三棱锥内接球外切球半径比三棱锥三条侧棱互相垂直

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  • 正三棱锥P-ABC,设棱长为a

    设底面三角形ABC的AB、BC、CA边中点为D、E、F

    易得三角形BPF、AEP、CDP全等,BF、CD、AE交于O,且PO⊥平面ABC

    任选PO上一点O',易证明O'到PD、PE、PF的距离相等

    当OO'等于O'到PD、PE、PF的距离距离时,恰好就是正三棱锥的内切球半径r

    OF=OE=OD=(1/3)AE=(1/3)CD=(1/3)BF=a√6/6

    PD=PE=PF=AE=CD=BF=a√2/2

    PO=√(a^2/2-a^2/6)=√(a^2/3)=a√3/3

    O到三个侧面的距离=1/3

    设OO'=r

    (√3/3-r):√3/3=r:(1/3)

    r=OO'=(3-√3)a/6

    验证:O'到PF的距离O'H=OO'

    设OG⊥PF,O'H//OG

    sin∠OFP=OP/PF=√6/3,OG=OF*sin∠OFP=a/3

    (PO-r)/PO=O'H/OG

    O'H=(PO-r)*OG/PO=(√3/3-1/2+√3/6)a/√3

    =(√3-1)a/(2√3)=(3-√3)a/6=r

    ∴ 正三棱锥内切球的半径r=a(3-√3)/6

    PO=√3/3