球心连接六棱柱的一个顶点的直线与六棱柱高的夹角为α
六棱柱边长为3sinα
六棱柱高为6cosα
六棱柱底面积为[ (27√3)(sinα)^2 ] / 2
六棱柱体积V=[ (27√3)(sinα)^2 ] * 6cosα / 2
V ' =81√3 [ 2sinα -3(sinα)^3 ]
令V ' =0
sinα=0 或 sinα=√6/3
sinα=0时 α=0 或 π 符合题意 所以舍去
取sinα=√6/3 (计算得cosα=√3/3)
V '' =81√3 [ 2cosα -9cosα (sinα)^2 ]
代入sinα=√6/3 cosα=√3/3
V ''