Question

点G为三角形的重心,过G作直线与ABAC两边分别交于MN两点,且向量AM=x向量AB,向量AN=y向量AC,求1/x+1

Answer 1

【原创解答】延长AG交BC于D,

G为三角形的重心,则AD为三角形的中线.

根据三角形法则：向量AD=AB+BD= AB+1/2BC

= AB+1/2(AC-AB)= 1/2(AB+AC).

G为三角形的重心,根据重心的性质：AG=2/3AD,

所以AG=2/3•1/2(AB+AC)= 1/3(AB+AC).

根据三角形法则：向量MG=AG-AM=1/3(AB+AC)-xAB

=(1/3-x)AB+1/3AC,

向量GN=AN-AG=yAC-1/3(AB+AC)

=-1/3 AB+(y-1/3) AC,

由已知,M、G、N三点共线,即向量MG、 GN共线.

向量MG=(1/3-x)AB+1/3AC与向量GN=-1/3 AB+(y-1/3) AC

的对应项的系数成比例.

∴(1/3-x)/( -1/3)=( 1/3)/ (y-1/3),

(1/3-x) (y-1/3)=-1/9,

展开得：1/3 y+1/3 x-xy=0,

x+y=3xy,

两边同除以xy得：

1/x+1/y=3.