解题思路:(1)根据使函数解析式有意义的原则,我们可以列出让函数解析式有意义的不等式,解不等式可求出函数的定义域,分析出函数奇偶性,根据奇偶性可以得到
f(
1
2010
)+f(−
1
2010
)
的值
(2)求出函数的导函数,可判断出函数在[-1,1]上的单调性,进而可得x∈[-a,a]时,f(x)存在最小值f(a),代入计算即可得到答案.
(1)由[1−x/1+x>0得-1<x<1,
∴函数f(x)的定义域是(-1,1)(3分)
∵f(−x)=x+ln
1+x
1−x=x−ln
1−x
1+x=−f(x),
∴f(x)是奇函数
∴f(
1
2010)+f(−
1
2010)=0(3分)
(2)∵f′(x)=−1−
2
1−x2=
x2−3
1−x2<0对-1<x<1恒成立
∴f(x)在(-1,1)上是减函数(5分)
∴f(x)min=f(a)=−a+ln
1+a
1−a](3分)
点评:
本题考点: 函数单调性的性质;函数的定义域及其求法;函数奇偶性的判断;函数的值.
考点点评: 本题考查的知识点是函数单调性的性质,函数定义域及其求法,函数奇偶性的判断,函数的值,是对函数三要素和性质比较综合的考查,掌握函数性质的定义及判断方法是解答关键.