已知函数f(x)=−x+ln1−x1+x

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  • 解题思路:(1)根据使函数解析式有意义的原则,我们可以列出让函数解析式有意义的不等式,解不等式可求出函数的定义域,分析出函数奇偶性,根据奇偶性可以得到

    f(

    1

    2010

    )+f(−

    1

    2010

    )

    的值

    (2)求出函数的导函数,可判断出函数在[-1,1]上的单调性,进而可得x∈[-a,a]时,f(x)存在最小值f(a),代入计算即可得到答案.

    (1)由[1−x/1+x>0得-1<x<1,

    ∴函数f(x)的定义域是(-1,1)(3分)

    ∵f(−x)=x+ln

    1+x

    1−x=x−ln

    1−x

    1+x=−f(x),

    ∴f(x)是奇函数

    ∴f(

    1

    2010)+f(−

    1

    2010)=0(3分)

    (2)∵f′(x)=−1−

    2

    1−x2=

    x2−3

    1−x2<0对-1<x<1恒成立

    ∴f(x)在(-1,1)上是减函数(5分)

    ∴f(x)min=f(a)=−a+ln

    1+a

    1−a](3分)

    点评:

    本题考点: 函数单调性的性质;函数的定义域及其求法;函数奇偶性的判断;函数的值.

    考点点评: 本题考查的知识点是函数单调性的性质,函数定义域及其求法,函数奇偶性的判断,函数的值,是对函数三要素和性质比较综合的考查,掌握函数性质的定义及判断方法是解答关键.