解题思路：（1）根据等腰三角形中有一角为60度时是等边三角形得到△ACO是等边三角形，∴∠AOC=60°
（2）由CP与⊙O相切，OC是半径．得CP⊥OC∴∠P=90°-∠AOC=30°∴PO=2 CO=8
（3）如图，当S△MAO=S△CAO时，动点M的位置有四种．
①作点C关于直径AB的对称点M1，连接AM1，OM1．
②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，连接AM2，OM2，
③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3，连接AM3，OM3，
④当点M运动到C时，M与C重合，
求得每种情况的OM转过的度数，再根据弧长公式求得弧AM的长．
（1）∵在△ACO中，∠OAC=60°，OC=OA
∴△ACO是等边三角形∴∠AOC=60°．
（2）∵CP与⊙O相切，OC是半径．
∴CP⊥OC，又∵∠OAC=∠AOC=60°，
∴∠P=90°-∠AOC=30°，
∴在Rt△POC中，CO=[1/2]PO=4，
则PO=2CO=8；
（3）如图，（每找出一点并求出弧长得1分）
①作点C关于直径AB的对称点M1，连接AM1，OM1．
易得S△M1AO=S△CAO，∠AOM1=60°
∴
AM1＝
4π
180°×60°＝
4
3π
∴当点M运动到M1时，S△MAO=S△CAO，
此时点M经过的弧长为
4
3π．
②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，连接AM2，OM2，易得S△M2AO=S△CAO．
∴∠AOM1=∠M1OM2=∠BOM2=60°
∴
AM2＝
4π
3×2＝
8
3π或
AM2＝
4π
180°×120°＝
8
3π
∴当点M运动到M2时，S△MAO=S△CAO，此时点M经过的弧长为
8
3π．
③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3，连接AM3，OM3，易得S△M3AO=S△CAO
∴∠BOM3=60°，
∴
AM2M3＝
4π
180°×240°＝
16
3π或
AM2M3＝
8π
3×2＝
16
3π
∴当点M运动到M3时，S△MAO=S△CAO，此时点M经过的弧长为
16
3π．
④当点M运动到C时，M与C重合，S△MAO=S△CAO，
此时点M经过的弧长为
4π
180°×300°＝
20
3π或
16
3π+
4
3π＝
20
3π．
点评：
本题考点： 弧长的计算；切线的性质．
考点点评： 本题利用了等边三角形的判定和性质，弧长公式，同底等高的三角形的面积相等的性质求解．