（1）∵函数 f(x)=
alnx
x （x＞0），
∴f′（x）=
a(1-lnx)
x 2
∵a＞0，所以判断1-lnx的符号，
当0＜x＜e时，f′（x）＞0，为增函数，
当x＞e时，f′（x）＜0，为减函数，
∴x=e为f（x）的极大值，
∴f（x）在（0，e）上单调递增；（e，+∞）是减函数．
（2）∵f（x）在（0，e）上单调递增；（e，+∞）是减函数
∴当a≤2e，x=a时有最小值，为f（a）=
alna
a =lna．
当a＞2e，x=2a时有最小值，为f（a）=
aln(2a)
2a =ln
ln(2a)
2 ．