怎样证明四边形是等腰梯形

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  • 分析:要证明四边形ABCD是等腰梯形,因为AB=CD,所以只要证明四边形ABCD是梯形即可;又因为AD≠BC,故只需要证AD‖BC即可.

    证明:方法一:如图(1)

    过A、D做BC的垂线AF,DH,垂足分别为F、H.

    ∵AB=DC,AC=DB,BC=CB,∴△ABC≌△DCB.∵AF⊥BC,DH⊥BC,∴ AF=DH.

    ∵AF‖DH,∴四边形AFHD是矩形,所以AD‖BC.

    ∵AB=CD,∴四边形ABCD是等腰梯形.

    方法二:如图(2).过点A做AE‖DC交BC于点E.∴∠DCB=∠AEB.

    ∵AB=DC,AC=DB,BC=CB,

    ∴△ABC≌△DCB.∴∠ABC=∠DCB,∴∠ABC=∠AEB,∴AB=AE.

    ∵AB=DC,∴AE=DC.∴四边形ABCD是平行四边形,∴AD‖BC.

    ∵AD≠BC,AB=CD,∴四边形ABCD是等腰梯形.

    方法三:如图(3)分别延长BA、CD相交于点G.

    ∵AB=DC,AC=DB,AD=DA,

    ∴△ABD≌△DCA.∴∠BAD=∠CDA,∠GAD=∠GDA,∴AG=DG.AG+AB=GD+CD.BG=CG.

    ∴∠GAD=∠GBC.AD‖BC.∴四边形ABCD是等腰梯形.

    方法四:如图(4)过点D做DM‖AC,交BC的延长线于点M.∴∠ACB=∠M,

    ∵AB=DC,AC=DB,BC=CB,∴△ABC≌△DCB.

    ∴∠ACB=∠DBC,∴∠DBC=∠M,∴DB=DM

    ∵AC=DB,∴AC=DM.∴四边形ACMD是平行四边形,∴AD‖BC.

    ∵AD≠BC,AB=CD,∴四边形ABCD是等腰梯形

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