Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an+Sn=2n．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由题设条件进行变形，整理成等比数列的形式，得证．

（Ⅱ）求出b_n=（2-n）（a_n-2）的通项公式，再作差比较相邻项的大小，即可找出最大项．

（Ⅰ）证明：由a₁+s₁=2a₁=2得a₁=1；

由a_n+S_n=2n得

a_n+1+S_n+1=2（n+1）

两式相减得2a_n+1-a_n=2，即2a_n+1-4=a_n-2，即a_n+1-2=[1/2]（a_n-2）

是首项为a₁-2=-1，公比为[1/2]的等比数列．故a_n-2=-(

1

2)n−1，故a_n=2-(

1

2)n−1，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn＝(2−n)•(−1)•(

1

2)n−1＝(n−2)•(

1

2)n−1

由bn+1−bn＝

n−1

2n−

n−2

2n−1＝

n−1−2n+4

2n＝

3−n

2n≥0得n≤3

由b_n+1-b_n＜0得n＞3，所以b₁＜b₂＜b₃=b₄＞b₅＞…＞b_n

故b_n的最大项为b3＝b4＝

1

4．

点评：

本题考点： 等比关系的确定．

考点点评： 本题考查等比关系的确定以及用作差法求数列的最大项，属于数列中的中档题，有一定的综合性，要求答题者有较好的观察能力及转化化归的能力．