过原点的直线l与抛物线y=x2-2ax(a>0)所围成的图形面积为[9/2a3

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  • 解题思路:设l的方程为:y=kx,将直线与抛物线方程联解,得到两交点的横坐标分别为0与2a+k.由此分2a+k≥0与2a+k<0两种情况讨论,根据定积分计算公式与微积分的几何意义建立关于a、k的方程,解出k值即可得到所求直线l的方程.

    设l的方程为:y=kx,由

    y=kx

    y=x2−2ax],解得x=0或x=2a+k

    (1)若2a+k≥0,则可得

    S=

    ∫2a+k0(kx−x2+2ax)dx=

    (k+2a)3

    6=

    9

    2a3,解之得k=a.

    ∴所求直线l方程为:y=ax.

    (2)若2a+k<0,则可得

    S=

    ∫02a+k(kx−x2+2ax)dx=−

    (k+2a)3

    6=

    9

    2a3,解之得k=-5a

    ∴所求直线l方程为:y=-5ax.

    综上所述,直线l的方程为y=ax或y=-5ax.

    点评:

    本题考点: 定积分在求面积中的应用;定积分.

    考点点评: 本题给出直线与抛物线围成的封闭图形的面积,求直线的方程.着重考查了直线与圆锥曲线的关系、微积分计算公式和微积分的几何意义等知识,考查了分类讨论的数学思想,属于中档题.