解题思路:设l的方程为:y=kx,将直线与抛物线方程联解,得到两交点的横坐标分别为0与2a+k.由此分2a+k≥0与2a+k<0两种情况讨论,根据定积分计算公式与微积分的几何意义建立关于a、k的方程,解出k值即可得到所求直线l的方程.
设l的方程为:y=kx,由
y=kx
y=x2−2ax],解得x=0或x=2a+k
(1)若2a+k≥0,则可得
S=
∫2a+k0(kx−x2+2ax)dx=
(k+2a)3
6=
9
2a3,解之得k=a.
∴所求直线l方程为:y=ax.
(2)若2a+k<0,则可得
S=
∫02a+k(kx−x2+2ax)dx=−
(k+2a)3
6=
9
2a3,解之得k=-5a
∴所求直线l方程为:y=-5ax.
综上所述,直线l的方程为y=ax或y=-5ax.
点评:
本题考点: 定积分在求面积中的应用;定积分.
考点点评: 本题给出直线与抛物线围成的封闭图形的面积,求直线的方程.着重考查了直线与圆锥曲线的关系、微积分计算公式和微积分的几何意义等知识,考查了分类讨论的数学思想,属于中档题.