Question

已知函数f（x）的定义域D=（0，+∞），且对于任意x1，x2∈D，均有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）-1，且

Answer 1

解题思路：（1）先利用特殊值法，求证f（1）=1，

（2）利用定义法进行证明；

（3）先求出f（4）=2，再根据函数的单单调性，得出不等式组解得即可．

（1）令x₁=x₂=1，

∴f（1）=f（1）+f（1）-1

∴f（1）=1，

（2）：设令0＜x₁＜x₂，

∵

x2

x1＞1，当x＞1时，f（x）＞1

∴f（

x2

x1）＞1，

∴f（

x2

x1•x₁）=f（x₂）=f（

x2

x1）+f（x₁）-1＞f（x₁），

∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；

（3）令x₁=x₂=4，

∴f（16）=f（4）+f（4）-1=3

∴f（4）=2，

∴f（3x+1）≤2=f（4），

∵f（x）在（0，+∞）上是增函数；

∴

3x+1＞0

3x+1≤4，

解得−

1

3＜x≤1，

故不等式f（3x+1）≤2的解集为（−

1

3，1]．

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查抽象函数及其应用，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中一定注意函数的定义域．