Question

已知关于x的一元二次方程x2+2（k-1）x+k2-1=0有两个不相等的实数根x1，x2．

Answer 1

解题思路：（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出△=b²-4ac的值大于0，建立关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围；

（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x₁+x₂=-2（k-1），x₁x₂=k²-1，再将它们代入3（x₁+x₂）=x₁x₂，即可求出k的值．

（1）△=[2（k-1）]²-4（k²-1）

=4k²-8k+4-4k²+4

=-8k+8．

∵原方程有两个不相等的实数根，

∴-8k+8＞0，

解得 k＜1，

即实数k的取值范围是 k＜1；

（2）由根与系数的关系，x₁+x₂=-2（k-1），x₁x₂=k²-1，

∵3（x₁+x₂）=x₁x₂，

∴-6（k-1）=k²-1，

化简得k²+6k-7=0，

（k-1）（k+7）=0

∴k=1或k=-7，

又∵k＜1，

∴k=-7．

点评：

本题考点： 根的判别式；根与系数的关系．

考点点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式和根与系数的关系的应用，用到的知识点：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根；

（4）x1+x2=-[b/a]；

（5）x1•x2=[c/a]．