Question

（2012•江苏二模）已知各项均为正整数的数列{an}满足an＜an+1，且存在正整数k（k＞1），使得a1+a2+…+

Answer 1

解题思路：（1）设c_n=a_3n-2+a_3n-1+a_3n，由a_n+3=3+a_n，得c_n+1=c_n+9，所以数列{c_n}是公差为9的等差数列，由此可求数列{a_n}的前36项的和S₃₆；

（2）确定a₁=1，a₂=2，a₃=3，且a_n+3=3+a_n，从而可求数列的通项；

（3）根据

b

n

•

b

n+1

＝−21•(

1

2

)

a

n

−8

，可得

b

n+1

•

b

n+2

＝−21•(

1

2

)

a

n+1

−8

，从而可得{b_2n}，{b_2n-1}都是以[1/2]为公比的等比数列，由此可求数列{b_n}的通项，进一步确定n≥13，n为奇数时，|T₂|＜|T₄|＜…＜|T₁₂|，|T₁₂|＞|T₁₄|＞…；n为偶数时，|T₁|＜|T₃|＜…＜|T₁₃|，|T₁₃|＞|T₁₅|＞…，由此可得结论．

（1）当k=3，a₁a₂a₃=6，则a₁+a₂+a₃=6．

设c_n=a_3n-2+a_3n-1+a_3n，由a_n+3=3+a_n，得c_n+1=c_n+9，所以数列{c_n}是公差为9的等差数列，

故S36＝c1+c2+…+c12＝12×6+

12×11

2×9＝666．…（4分）

（2）若k=2时，a₁+a₂=a₁•a₂，又a₁＜a₂，

所以a₁•a₂＜2a₂，所以a₁=1，此时1+a₂=a₂，矛盾．…（6分）

若k=3时，a₁+a₂+a₃=a₁•a₂•a₃，所以a₁•a₂•a₃＜3a₃，a₁•a₂＜3，

所以a₁=1，a₂=2，a₃=3，满足题意． …（8分）

若k≥4时，a₁+a₂+…+a_k=a₁•a₂•…•a_k，所以a₁•a₂•…•a_k＜ka_k，即a₁•a₂•…•a_k-1＜k，

又因为a₁•a₂•…•a_k-1＞1×2×…×（k-1）≥2k-2＞k，所以k≥4不满足题意．…（10分）

所以，a₁=1，a₂=2，a₃=3，且a_n+3=3+a_n，

所以a_3n-2=a₁+3（n-1）=3n-2，a_3n-1=a₂+3（n-1）=3n-1，a_3n=a₃+3（n-1）=3n，

故a_n=n．…（12分）

（3）因为bn•bn+1＝−21•(

1

2)an−8，所以bn+1•bn+2＝−21•(

1

2)an+1−8

所以

bn+2

bn＝

1

2，所以{b_2n}，{b_2n-1}都是以[1/2]为公比的等比数列，

所以b_n=

3•26•(

1

2)

n−1

2，n＞1，n为奇数

−14×(

1

2)

n

2−1，n＞2，n为偶数…（14分）

令|b_n•b_n+1|＜1，即|−21•(

1

2)n−8|＜1，∴(

1

2)

点评：

本题考点： 数列的应用．

考点点评： 本题考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，确定数列的性质是关键．