(2012•江苏二模)已知各项均为正整数的数列{an}满足an<an+1,且存在正整数k(k>1),使得a1+a2+…+

1个回答

  • 解题思路:(1)设cn=a3n-2+a3n-1+a3n,由an+3=3+an,得cn+1=cn+9,所以数列{cn}是公差为9的等差数列,由此可求数列{an}的前36项的和S36

    (2)确定a1=1,a2=2,a3=3,且an+3=3+an,从而可求数列的通项;

    (3)根据

    b

    n

    b

    n+1

    =−21•(

    1

    2

    )

    a

    n

    −8

    ,可得

    b

    n+1

    b

    n+2

    =−21•(

    1

    2

    )

    a

    n+1

    −8

    ,从而可得{b2n},{b2n-1}都是以[1/2]为公比的等比数列,由此可求数列{bn}的通项,进一步确定n≥13,n为奇数时,|T2|<|T4|<…<|T12|,|T12|>|T14|>…;n为偶数时,|T1|<|T3|<…<|T13|,|T13|>|T15|>…,由此可得结论.

    (1)当k=3,a1a2a3=6,则a1+a2+a3=6.

    设cn=a3n-2+a3n-1+a3n,由an+3=3+an,得cn+1=cn+9,所以数列{cn}是公差为9的等差数列,

    故S36=c1+c2+…+c12=12×6+

    12×11

    2×9=666.…(4分)

    (2)若k=2时,a1+a2=a1•a2,又a1<a2

    所以a1•a2<2a2,所以a1=1,此时1+a2=a2,矛盾.…(6分)

    若k=3时,a1+a2+a3=a1•a2•a3,所以a1•a2•a3<3a3,a1•a2<3,

    所以a1=1,a2=2,a3=3,满足题意. …(8分)

    若k≥4时,a1+a2+…+ak=a1•a2•…•ak,所以a1•a2•…•ak<kak,即a1•a2•…•ak-1<k,

    又因为a1•a2•…•ak-1>1×2×…×(k-1)≥2k-2>k,所以k≥4不满足题意.…(10分)

    所以,a1=1,a2=2,a3=3,且an+3=3+an

    所以a3n-2=a1+3(n-1)=3n-2,a3n-1=a2+3(n-1)=3n-1,a3n=a3+3(n-1)=3n,

    故an=n.…(12分)

    (3)因为bn•bn+1=−21•(

    1

    2)an−8,所以bn+1•bn+2=−21•(

    1

    2)an+1−8

    所以

    bn+2

    bn=

    1

    2,所以{b2n},{b2n-1}都是以[1/2]为公比的等比数列,

    所以bn=

    3•26•(

    1

    2)

    n−1

    2,n>1,n为奇数

    −14×(

    1

    2)

    n

    2−1,n>2,n为偶数…(14分)

    令|bn•bn+1|<1,即|−21•(

    1

    2)n−8|<1,∴(

    1

    2)

    点评:

    本题考点: 数列的应用.

    考点点评: 本题考查数列的通项与求和,考查学生分析解决问题的能力,确定数列的性质是关键.