若实数x,y满足x2+4y2=4x,则S=x2+y2的取值范围是______.

3个回答

  • 解题思路:把S表示为关于变量x的二次函数,由y2≥0可求得x的范围,在x的取值范围内利用二次函数的性质即可求得其最值,从而得其范围.

    由x2+4y2=4x,得y2=[1/4(4x−x2),

    由y2=

    1

    4(4x−x2)≥0,解得0≤x≤4,

    代入S=x2+y2得,S=x2+

    1

    4(4x−x2)=

    3

    4x2+x=

    3

    4(x+

    2

    3)2-

    1

    3],x∈[0,4],

    S在[0,4]上单调递增,

    当x=0时S取得最小值为0;当x=4时S取得最大值为16,

    故S的取值范围为[0,16].

    故答案为:[0,16].

    点评:

    本题考点: 二次函数在闭区间上的最值.

    考点点评: 本题考查二次函数在闭区间上的最值问题,考查学生运用知识分析解决问题的能力,属中档题.