Question

求微分方程 y'''＋ 4y' = x y(0) = y'(0) = 0 y''(0) =1

Answer 1

特征方程

r^3+4r=0

r(r^2+4)=0

r=0,r=±2i

所以齐次通解是y=C1+C2cos2x+C3sin2x

设特解是y=ax^2

代入原方程得a=1/8

所以特解是y=1/8x^2

原方程的通解是y=C1+C2cos2x+C3sin2x+1/8x^2

下面确定C1,C2,C3的值,由于与特解无关,因此我们只需要通解代入y'''＋4y' =0就可以了,

y(0) =0代入得C1+C2=0

y'=-2C2sin2x+2C3cos2x

y'(0)=0

C3=0

y''=-4C2cos2x+4C3sin2x

y''(0)=1

-4C2=1

C2=-1/4

C1=1/4

因此通解是

y=1/4-1/4cos2x+1/8x^2