Question

怎么证明2^n>n^2 n为不小于5的自然数

Answer 1

假设当n是不小于5的自然数时,总有2^n>n^2

当n=5时,2^5=32>5^2=25

令n=k时,2^k>k^2,k>=5

则n=k+1时,2^(k+1)=2*2^k>2*k^2=(k+1)^2+k^2-2k-1

因为k>=5,f(k)=k^2-2k-1的对称轴为k=1

所以k^2-2k-1=14>0

所以2^(k+1)>(k+1)^2

所以当自然数n>=5时,总有2^n>n^2