Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos2C2+ccos2A2＝32b．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）对其角A，B，C的对边分别为a，b，c，可得

aco

s

2

C

2

+cco

s

2

A

2

＝

3

2

b

，利用倍角公式进行化简，再利用正弦定理进行证明；

（Ⅱ）因为∠B=60°，b=4，利用余弦定理得4²=a²+c²-2accos60°，求出ac的值，利用三角形的面积的公式进行求解；

（Ⅰ）acos2

C

2+ccos2

A

2＝

3

2b，

即a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b，

由正弦定理得：

sinA+sinAcosC+sinC+cosAsinC=3sinB，

即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，

可得sinA+sinC=2sinB，

由正弦定理可得，

整理得：a+c=2b，

故a，b，c为等差数列；

（Ⅱ）由∠B=60°，b=4及余弦定理得：4²=a²+c²-2accos60°，

∴（a+c）²-3ac=16，

又由（Ⅰ）知a+c=2b，代入上式得4b2-3ac=16，解得ac=16，

∴△ABC的面积S=[1/2]acsinB=[1/2]acsin60°=4

3；

点评：

本题考点： 等差数列的性质；解三角形．

考点点评： 此题主要考查正弦定理和余弦定理的应用以及等差数列的性质，是一道综合题，也是一道基础题；