（1）证明：对任意x1，x2∈R，有
|f(x1)−f(x2)|＝|
1+
x21−
1+
x22|=|
x21−
x22
1+
x21+
1+
x22|=
|x1−x2|•|x1+x2|
1+
x21+
1+
x22．…2分
由|f（x1）-f（x2）|≤L|x1-x2|，即
|x1−x2|•|x1+x2|
1+
x21+
1+
x22≤L|x1-x2|．
当x1≠x2时，得L≥
|x1+x2|
1+
x21+
1+
x22．
∵
1+
x21＞|x1|，
1+
x22＞|x2|，且|x1|+|x2|≥|x1+x2|，
∴
|x1+x2|
1+
x21+
1+
x22＜
|x1+x2|
|x1|+|x2|≤1．…4分
∴要使|f（x1）-f（x2）|≤L|x1-x2|对任意x1，x2∈R都成立，只要L≥1．
当x1=x2时，|f（x1）-f（x2）|≤L|x1-x2|恒成立．
∴L的取值范围是[1，+∞）．…5分
（2）证明：①∵an+1=f（an），n=1，2，…，
故当n≥2时，|an-an+1|=|f（an-1）-f（an）|≤L|an-1-an|=L|f（an-2）-f（an-1）|≤L2|an-2-an-1|≤…≤Ln-1|a1-a2|
∴
n
k＝1|ak−ak+1|＝|a1−a2|+|a2−a3|+|a3−a4|+…+|an−an+1|≤（1+L+L2+…+Ln-1）|a1-a2