Question

数列{an}的前n项和Sn=p^n+q(q,p为非零实数,n∈N+),求该数列成等比数列的充要条件

Answer 1

答：

p≠1,q=-1

充分性

Sn=p^n+q为等比数列,pq≠0

S(n+1)=p^(n+1)+q,两式相减,

A(n+1)=p^n*(p-1),由题意,当n=0也成立,

A1=p+q=p-1,q=-1,

An=p^(n-1)*(p-1),故p≠1,

必要性

p≠1,q=-1,pq≠

Sn=p^n-1

A1=p-1

S(n+1)=p^(n+1)-1

A(n+1)=p^n(p-1)

故An=p^(n-1)*(p-1)对一切n均成立

A(n+1)/An=p≠0,A1=p-1≠0

该数列为等比数列.