Question

设定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件时称f（x）为“友谊函数”：（1）对任意的x∈[0，1]，总有f（

Answer 1

解题思路：①直接取x₁=x₂=0，利用f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）可得：f（0）≤0，再结合已知条件f（0）≥0即可求得f（0）=0；

②按照“友谊函数”的定义进行验证；

③由0≤x₁＜x₂≤1，则0＜x₂-x₁＜1，故有f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁），即得结论成立．

①因为f（x）为“友谊函数”，

则取x₁=x₂=0，得f（0）≥f（0）+f（0），即f（0）≤0，

又由f（0）≥0，得f（0）=0，故①正确；

②显然g（x）=2^x-1在[0，1]上满足：（1）g（x）≥0；（2）g（1）=1，

若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，

则有g（x₁+x₂）-[g（x₁）+g（x₂）]=2x1+x2-1-[（2x1-1）+（2x2-1）]=（2x1-1）（2x2-1）≥0，即g（x₁+x₂）≥g（x₁）+g（x₂），满足（3）

故g（x）=2^x-1满足条件（1）﹑（2）﹑（3），

所以g（x）=2^x-1为友谊函数．故②正确；

③因为0≤x₁＜x₂≤1，则0＜x₂-x₁＜1，

所以f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁），

故有f（x₁）≤f（x₂）．故③正确；

故答案为：①②③．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题；抽象函数及其应用．

考点点评： 本题主要是在新定义下对抽象函数进行考查，在做关于新定义的题目时，一定要先研究定义，在理解定义的基础上再做题．