Question

证明 当x＞0时.1+xlin（x＋√（1+x²））＞√（1+x²）

Answer 1

设f(x)=1+xln(x+√(1+x^2))-√(1+x^2)

f'(x)=ln(x+√(1+x^2))+(x+x^2/√(1+x^2))/(x+√(1+x^2))-x/√(1+x^2)

=ln(x+√(1+x^2))-(x^3+x)/√(1+x^2)+x√(1+x^2)

=ln(x+√(1+x^2))

>0

所以f(x)在x>0严格单调递增

f(0)=0

所以在x>0时f(x)>0

即1+xln(x+√(1+x^2))>√(1+x^2)