Question

已知数列{an}满足：2a1+2a2+…+2an-1+2an=2n+1-2，n∈N*．

Answer 1

解题思路：（1）当n≥2时，由

2

a

1

+

2

a

2

+…+

2

a

n−1

+

2

a

n

=2ⁿ⁺¹-2，

2

a

1

+

2

a

2

+…+

2

a

n−1

=2ⁿ-2，相减即可得出a_n，当n=1时，单独考虑；

（2）利用（1）的结论即可得到b_n，利用裂项求和即可得出T_n，进而得出数列{T_n}的单调性，即可得到λ的值．

（1）当n≥2时，∵2a1+2a2+…+2an-1+2an=2ⁿ⁺¹-2

2a1+2a2+…+2an-1=2ⁿ-2，

∴2an=(2n+1-2)-(2n-2)，即2an=2n．

当n=1时，2a1=22-2，解得a₁=1，也符合上式．

∴数列{a_n}的通项公式为a_n=n；

（2）由（1）可知：bn=

2

anan+1=

2

n(n+1)=2(

1

n-

1

n+1)，

∴T_n=2[(1-

1

2)+(

1

2-

1

3)+…+(

1

n-

1

n+1)]=2(1-

1

n+1)．

∵Tn+1-Tn=2(1-

1

n+2)-2(1-

1

n+1)=

2

(n+1)(n+2)＞0，

∴T_n+1＞T_n．数列{T_n}是单调递增数列，

∴{T₁}的最小值为T₁=1．

由题意，λ≥数列{T_n}的最小值=1，

∴实数λ的最小值为1．

点评：

本题考点： 数列递推式；数列的求和．

考点点评： 本题综合考查了求数列的通项公式、裂项求和方法、数列的单调性等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．