（1）连接AC、BD，
因为H、G，分别为AD、DC的中点，
所以HG ∥ AC，
同理EF ∥ AC，
所以HG ∥ EF；
同理可知HE ∥ GF．
于是四边形EFGH是平行四边形．
（2）由于对角线相等，
因为H，G，分别为AD、DC的中点，
所以HG=
1
2 AC，
同理EF=
1
2 AC，
所以HG=EF；
同理可知HE=
1
2 BD，
GF=
1
2 BD．
又因为AC=BD
所以HE=EF=FG=GH．
又因为是四边形EFGH是平行四边形．
所以四边形EFGH为菱形．
（3）由于四边形EFGH是平行四边形．
当AC⊥BD时，
HE⊥EF，
故四边形EFGH为矩形；
（4）由于四边形EFGH是平行四边形．
当AC⊥BD时，
HE⊥EF，
故四边形EFGH为矩形；
AC=BD时，
四边形EFGH为正方形．