曲线f(x)=e^x,(x＞0)
点P是该曲线上的任意一点,故可设其坐标P(t,e^t),(t＞0)
显然,曲线在点P(t,e^t)处切线的斜率k=e^t.法线的斜率为-1/(e^t)
∴由此可得,曲线f(x)=e^x在点P(t,e^t)处的
切线方程:y-(e^t)=(e^t)(x-t)
法线方程:y-(e^t)=[-1/(e^t)](x-t)
∴由题设可得:
点M的纵坐标为(1-t)(e^t)
点N的纵坐标为(e^t)+[t/(e^t)]
∴由中点坐标公式可知,线段MN的中点Q(0,q)
2q=(2-t)(e^t)+[t/(e^t)] (t＞0)
该问题可化为求函数
g(x)=(2-x)(e^x)+[x/(e^x)] (x＞0)
的最小值问题.
求导,可得
g'(x)=(1-x)[(e^x)+e^(-x)]
显然,当0＜x＜1时,g'(x)＞0
当x＞1时,g'(x)＜0
∴当x=1时,函数g(x)取得最大值
g(x)max=g(1)=e+(1/e)
∴线段MN的中点Q的纵坐标的最大值为[e+(1/e)]/2