在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AC,BC=BD=(√2+1)CD,则角BAC+角BDC的度数

2个回答

  • 令CD、BC的中点分别为E、F.

    ∵AB=AC、BC=BD,∴BE⊥CD、AF⊥BC.

    由锐角三角函数定义,有:cos∠C=CE/BC=(1/2)CD/[(√2+1)CD]=(√2-1)/2.

    ∴sin∠C=√[1-(cosC)^2]=√[1-(3-2√2)/4]=√(1+2√2)/2.

    显然有:sinC=AF/CD,∴AF=√(1+2√2)CD/2.

    ∴tan∠BAF=BF/AF=(1/2)BC/AF=(√2+1)/√(1+2√2).

    ∵AB=AC、AF⊥BC,∴∠BAC=2∠BAF.

    ∴tan∠BAC=2tan∠BAF/[1-(tan∠BAF)^2]

    =2[(√2+1)/√(1+2√2)]/{1-[(√2+1)/√(1+2√2)]^2}

    =2[(√2+1)/√(1+2√2)]/[1-(3+2√2)/(1+2√2)]

    =2[(√2+1)/√(1+2√2)]/[(1+2√2-3-2√2)/(1+√2)]

    =-(√2+1)√(1+2√2).

    ∵BC=BD,∴∠C=∠BDC.

    又tan∠C=sin∠C/cos∠C=[√(1+2√2)/2]/[(√2-1)/2]=(√2+1)√(1+2√2).

    ∴tan∠BDC=(√2+1)√(1+2√2).

    由tan∠BAC=-(√2+1)√(1+2√2)、tan∠BDC=(√2+1)√(1+2√2),得:

    tan∠BAC+tan∠BDC=0.

    ∴tan(∠BAC+∠BDC)=(tan∠BAC+tan∠BDC)/(1-tan∠BACtan∠BDC)=0.

    显然有:0°<∠BAC<180°, 0°<∠BDC<180°, ∴0°<∠BAC+∠BDC<360°,

    ∴∠BAC+∠BDC=180°.