Question

过点(1,0)的直线l与中心在原点,焦点在x轴上且离心率为根号2/2的椭圆C相交于A、B两点,直线y=1/2x过线段AB

Answer 1

由e=c/a=√2/2,得(a^2-b^2)/a^2=1/2 ,从而a^2=2b^2,c=b.

设椭圆方程为x^2+2y^2=2b^2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.

则x1^2+2y1^2=2b^2,x2^2+2y2^2=2b^2,两式相减得,(x1^2－x2^2)+2(y1^2－y2^2)=0,

(y1-y2)/(x1-x2)= -(x1+x2)/2(y1+y2)

设AB中点为(x0,y0),则kAB=－x0/2y0,又(x0,y0)在直线y=x/2上,y0=x0/2,

于是－x0/2y0= -1,kAB=－1,

设l的方程为y=－x+1.

右焦点(c,0)关于l的对称点设为(x′,y′),

则：y′/(x′-c) =1,y′/2= -1/2(x′+c)+1

得：x′=1,y′=1-c

由点(1,1－c)在椭圆上,得1+2(1－c)^2=2c^2,a^2=9/8.

∴所求椭圆C的方程为8x^2/9 +16y^2/9=1,

l的方程为y=－x+1.