已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,AB的垂直平分线MN分别交BC,AB于点M,N,求证:CM=2BM

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  • 解题思路:先根据垂直平分线的性质,判定AM=BM,再求出∠B=30°,∠CAM=90°,根据直角三角形中30度的角对的直角边是斜边的一半,得出BM=AM=[1/2]CA即CM=2BM.

    证法1:如答图所示,连接AM,

    ∵∠BAC=120°,AB=AC,

    ∴∠B=∠C=30°,

    ∵MN是AB的垂直平分线,

    ∴BM=AM,∴∠BAM=∠B=30°,

    ∴∠MAC=90°,

    ∴CM=2AM,

    ∴CM=2BM.

    证法二:如答图所示,过A

    作AD∥MN交BC于点D.

    ∵MN是AB的垂直平分线,

    ∴N是AB的中点.

    ∵AD∥MN,

    ∴M是BD的中点,即BM=MD.

    ∵AC=AB,∠BAC=120°,

    ∴∠B=∠C=30°,

    ∵∠BAD=∠BNM=90°,

    ∴AD=[1/2]BD=BM=MD,

    又∵∠CAD=∠BAC-∠BAD=120°-90°=30°,

    ∴∠CAD=∠C,

    ∴AD=DC,BM=MD=DC,

    ∴CM=2BM.

    点评:

    本题考点: 线段垂直平分线的性质.

    考点点评: 此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识.线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.