Question

已知a∈R，函数f（x）=（-x2+ax）ex（x∈R，e为自然对数的底数）．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）求导函数，令f′（x）＞0，可得f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）f′（x）=[-x²+（a-2）x+a]e^x，若f（x）在（-1，1）内单调递增，即当-1＜x＜1时，f′（x）≥0，即-x²+（a-2）x+a≥0对x∈（-1，1）恒成立，分离参数求最值，即可求a的取值范围．

（Ⅰ）当a=2时，f（x）=（-x²+2x）e^x，f′（x）=-（x²-2）e^x

令f′（x）＞0，得x²-2＜0，∴-

2＜x＜

2

∴f（x）的单调递增区间是（-

2，

2）；

（Ⅱ）f′（x）=[-x²+（a-2）x+a]e^x，若f（x）在（-1，1）内单调递增，即当-1＜x＜1时，f′（x）≥0，

即-x²+（a-2）x+a≥0对x∈（-1，1）恒成立，

即a≥x+1−

1

x+1对x∈（-1，1）恒成立，

令y=x+1−

1

x+1，则y′=1+

1

(x+1)2＞0

∴y=x+1−

1

x+1在（-1，1）上单调递增，∴y＜1+1-[1/1+1]=[3/2]

∴a≥

3

2

当a=[3/2]时，当且仅当x=0时，f′（x）=0

∴a的取值范围是[[3/2]，+∞）．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．